Théorème de Pythagore : rédaction complète en 6 étapes

Comment rédiger une solution avec le théorème de Pythagore ?

Pour rédiger une solution, suivez toujours le même ordre : nommez le triangle rectangle et le sommet de l’angle droit, repérez l’hypoténuse, citez le théorème, puis écrivez l’égalité avec les lettres de la figure. Remplacez ensuite les longueurs par leurs valeurs, détaillez les calculs et concluez avec l’unité et, si besoin, l’arrondi.

La rédaction Pythagore 4e peut ainsi commencer : « Le triangle ABC est rectangle en A. Son hypoténuse est [BC]. D’après le théorème de Pythagore, [BC² = AB² + AC²]. » Cette égalité de Pythagore doit précéder l’application numérique. Vous montrez ainsi votre raisonnement, au lieu de poser des nombres sans explication.

Avec 6² + 8² = 36 + 64 = 100, on obtient une hypoténuse de 10 cm. Source : Cours Legendre, date de publication non indiquée.

Présentez chaque étape sur une ligne : calcul des carrés, addition ou soustraction, puis racine carrée. Si le résultat n’est pas un carré parfait, distinguez clairement la valeur exacte et approchée : par exemple, conservez d’abord l’écriture avec la racine carrée, puis donnez la valeur affichée par la calculatrice et l’arrondi demandé.

Pour retenir le réflexe « théorème de pythagore rédaction », pensez : situation, formule, nombres, calcul, conclusion. Terminez par une phrase complète, comme « La longueur recherchée mesure donc… cm ». Pour rendre vos autres démonstrations aussi lisibles, vous pouvez découvrir nos conseils pour mieux structurer vos écrits.

Rédaction type pour calculer l’hypoténuse

Pour calculer l’hypoténuse, additionnez les carrés des deux côtés de l’angle droit, puis prenez la racine carrée du résultat. Dans un triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est [BC] et l’égalité de Pythagore s’écrit : BC² = AB² + AC².

Voici un exercice Pythagore corrigé avec AB = 9 cm et AC = 12 cm :

On sait que le triangle ABC est rectangle en A.
D’après le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
BC² = 9² + 12²
BC² = 81 + 144
BC² = 225
BC = √225
BC = 15 cm
L’hypoténuse [BC] mesure donc 15 cm.

Ici, 225 est un carré parfait : sa racine carrée est exactement 15. La valeur exacte et la valeur affichée par la calculatrice coïncident, aucun arrondi n’est nécessaire.

Si la somme obtenue n’est pas un carré parfait, conservez d’abord la racine carrée comme valeur exacte. Utilisez ensuite la calculatrice pour donner une valeur approchée, en précisant l’arrondi et l’unité de longueur demandés. Enfin, contrôlez votre résultat : l’hypoténuse doit être plus longue que chacun des deux autres côtés.

Rédaction type pour calculer un côté de l’angle droit

Pour calculer un côté de l’angle droit, soustrayez le carré de l’autre côté au carré de l’hypoténuse, puis prenez la racine carrée du résultat. L’ordre est essentiel : côté recherché² = hypoténuse² − autre côté².

Dans un triangle ABC rectangle en A, avec BC = 13 cm et AB = 5 cm, on cherche AC :

On sait que le triangle ABC est rectangle en A et que son hypoténuse est [BC].
D’après le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
AC² = BC² − AB²
AC² = 13² − 5²
AC² = 169 − 25
AC² = 144
AC = √144
AC = 12 cm
Le côté [AC] mesure donc 12 cm.

Pourquoi ne faut-il pas écrire 5² − 13² ? Parce que le carré de l’hypoténuse est le plus grand. Une soustraction inversée donnerait ici un nombre négatif, impossible pour le carré d’une longueur. Vous pouvez contrôler le résultat en remplaçant AC par 12 dans l’égalité initiale : 5² + 12² = 13².

Si le résultat n’est pas un carré parfait, conservez la racine carrée comme valeur exacte, puis utilisez la calculatrice pour obtenir une valeur approchée avec l’arrondi et l’unité demandés. Attention enfin à ne pas confondre ce calcul avec la réciproque de Pythagore, qui sert à démontrer qu’un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs.

Comment rédiger avec la réciproque de Pythagore ?

Pour utiliser la réciproque de Pythagore, repérez d’abord le plus grand côté, puis comparez son carré à la somme des carrés des deux autres côtés. Si les deux résultats sont égaux, citez la réciproque du théorème de Pythagore et concluez que le triangle est rectangle, en précisant le sommet de l’angle droit.

Prenons un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 13 cm. Le plus grand côté est [BC]. Il faut effectuer les deux calculs séparément, sans supposer dès le départ que [BC] est l’hypoténuse :

BC² = 13² = 169
AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

Comme BC² = AB² + AC², l’égalité de Pythagore est vérifiée. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est donc rectangle en A. [BC] est alors son hypoténuse, tandis que [AB] et [AC] sont les côtés de l’angle droit, aussi appelés cathètes.

Cette démonstration ne demande ni racine carrée, ni valeur approchée, ni arrondi, contrairement à certains exercices de calcul de l’hypoténuse. En classe de 4e, en classe de 3e ou au brevet des collèges, retenez ce plan de rédaction mathématique : plus grand côté, deux calculs séparés, comparaison, réciproque, conclusion précise.

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